Giải bài tập trang 41, 42 bài ôn tập Chương II – Phân thức đại số Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Câu 65: Chứng minh rằng…
Câu 65 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng :
a. Giá trị của biểu thức ({left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} right)} right]) bằng 1 với mọi giá trị x ≠ 0 và x ≠ -1
Bạn đang xem: Giải bài 65, 66, 67 trang 41, 42 SBT Toán 8 tập 1
b. Giá trị của biểu thức ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} right)) bằng 1 khi (x ne 0,x ne – 3,x ne 3,x ne – {3 over 2})
Giải:
a. ({left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} right)} right])
Biểu thức ({left( {{{x + 1} over x}} right)^2}) xác định khi (x ne 0)
Biểu thức ({{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} right)) xác định khi (x ne 0) và (x + 1 ne 0)
hay xác định khi (x ne 0) và (x ne – 1)
Vậy với điều kiện (x ne 0) và(x ne 1)
Ta có : ({left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}left( {{1 over x} + 1} right)} right])
(eqalign{ & = {left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left[ {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over {x + 1}}.{{1 + x} over x}} right] cr & = {left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:left( {{{{x^2} + 1} over {{x^2}}} + {2 over x}} right) = {left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:{{{x^2} + 1 + 2x} over {{x^2}}} cr & = {left( {{{x + 1} over x}} right)^2}:{{{{left( {x + 1} right)}^2}} over {{x^2}}} = {{{{left( {x + 1} right)}^2}} over {{x^2}}}.{{{x^2}} over {{{left( {x + 1} right)}^2}}} = 1 cr} )
b. Biểu thức : ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} right)) xác định khi (x – 3 ne 0,2x + 3 ne 0,{x^2} – 3x ne 0) và ({x^2} – 9 ne 0)
hay (x ne 3;x ne – {3 over 2};x ne 0;x ne 3) và (x ne pm 3)
Vậy điều kiện (x ne 0,x ne 3,x ne – 3) và (x ne – {3 over 2})
Ta có: ({x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left( {{{x + 3} over {{x^2} – 3x}} – {x over {{x^2} – 9}}} right))
(eqalign{ & = {x over {x – 3}} – {{{x^2} + 3x} over {2x + 3}}.left[ {{{x + 3} over {xleft( {x – 3} right)}} – {x over {left( {x + 3} right)left( {x – 3} right)}}} right] cr & = {x over {x – 3}} – {{xleft( {x + 3} right)} over {2x + 3}}.{{{{left( {x + 3} right)}^2} – {x^2}} over {xleft( {x + 3} right)left( {x – 3} right)}} cr & = {x over {x – 3}} – {{{x^2} + 6x + 9 – {x^2}} over {left( {2x + 3} right)left( {x – 3} right)}} = {x over {x – 3}} – {{3left( {2x + 3} right)} over {left( {2x + 3} right)left( {2x – 3} right)}} cr & = {x over {x – 3}} – {3 over {x – 3}} = {{x – 3} over {x – 3}} = 1 cr} )
Câu 66 trang 41 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chú ý rằng nếu c > 0 thì ({left( {a + b} right)^2} + c) và ({left( {a – b} right)^2} + c) đều dương với mọi a, b. Áp dụng điều này chứng minh rằng :
a. Với mọi giá trị của x khác ± 1, biểu thức
({{x + 2} over {x – 1}}.left( {{{{x^3}} over {2x + 2}} + 1} right) – {{8x + 7} over {2{x^2} – 2}}) luôn luôn có giá trị dương;
b. Với mọi giá trị của x khác 0 và khác – 3 , biểu thức :
({{1 – {x^2}} over x}.left( {{{{x^2}} over {x + 3}} – 1} right) + {{3{x^2} – 14x + 3} over {{x^2} + 3x}}) luôn luôn có giá trị âm.
Giải:
a. ({{x + 2} over {x – 1}}.left( {{{{x^3}} over {2x + 2}} + 1} right) – {{8x + 7} over {2{x^2} – 2}}) điều kiện (x ne 1) và (x ne – 1)
(eqalign{ & = {{x + 2} over {x – 1}}.{{{x^3} + 2x + 2} over {2left( {x + 1} right)}} – {{8x + 7} over {2left( {{x^2} – 1} right)}} cr & = {{left( {x + 2} right)left( {{x^3} + 2x + 2} right)} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} – {{8x + 7} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} cr & = {{{x^4} + 2{x^2} + 2x + 2{x^3} + 4x + 4 – 8x – 7} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} cr & = {{{x^4} + 2{x^3} + 2{x^2} – 2x – 3} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} = {{{x^4} – {x^2} + 2{x^3} – 2x + 3{x^2} – 3} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} cr & = {{{x^2}left( {{x^2} – 1} right) + 2xleft( {{x^2} – 1} right) + 3left( {{x^2} – 1} right)} over {2left( {x – 1} right)left( {x + 1} right)}} = {{left( {{x^2} – 1} right)left( {{x^2} + 2x + 3} right)} over {2left( {{x^2} – 1} right)}} cr & = {{{x^2} + 2x + 3} over 2} cr} )
Biểu thức dương khi ({x^2} + 2x + 3 > 0) ta có : ({x^2} + 2x + 3 = {x^2} + 2x + 1 + 2 = {left( {x + 1} right)^2} + 3 > 0) với mọi giá trị của x.
Vậy giá trị của biểu thức dương với mọi giá trị (x ne – 1) và (x ne 1)
b. ({{1 – {x^2}} over x}.left( {{{{x^2}} over {x + 3}} – 1} right) + {{3{x^2} – 14x + 3} over {{x^2} + 3x}}) điều kiện (x ne 0) và (x ne – 3)
(eqalign{ & = {{1 – {x^2}} over x}.{{{x^2} – left( {x + 3} right)} over {x + 3}} + {{3{x^2} – 14x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}} = {{left( {1 – {x^2}} right)left( {{x^2} – x – 3} right)} over {xleft( {x + 3} right)}} + {{3{x^2} – 14x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{{x^2} – x – 3 – {x^4} + {x^3} + 3{x^2} + 3{x^2} – 14x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{ – {x^4} + {x^3} + 7{x^2} – 15x} over {xleft( {x + 3} right)}} = {{xleft( { – {x^3} + {x^2} + 7x – 15} right)} over {xleft( {x + 3} right)}} cr & = {{ – {x^3} + {x^2} + 7x – 15} over {x + 3}} = {{ – {x^3} – 3{x^2} + 4{x^2} + 12x – 5x – 15} over {x + 3}} cr & = {{ – {x^2}left( {x + 3} right) + 4xleft( {x + 3} right) – 5left( {x + 3} right)} over {x + 3}} = {{left( {x + 3} right)left( { – {x^2} + 4x – 5} right)} over {x – 3}} cr & = – {x^2} + 4x – 5 = – left( {{x^2} – 4x + 5} right) cr} )
Vì ({x^2} – 4x + 5 = {x^2} – 4x + 4 + 1 = {left( {x – 2} right)^2} + 1 > 0) với mọi giá trị của x
nên ( – left[ {{{left( {x + 2} right)}^2} + 1} right] < 0) với mọi giá trị của x.
Vậy giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị (x ne 0)và (x ne – 3)
Câu 67 trang 42 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chú ý rằng vì ({left( {x + a} right)^2} ge 0) với mọi giá trị của x và ({left( {x + a} right)^2} = 0) khi (x = – a) nên ({left( {x + a} right)^2} + b ge b) với mọi giá trị của x và ({left( {x + a} right)^2} + b = b) khi(x = – a). Do đó giá trị nhỏ nhất của ({left( {x + a} right)^2} + b) bằng b khi(x = – a). Áp dụng điều này giải các bài tập sau :
a. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
({{{x^2}} over {x – 2}}.left( {{{{x^2} + 4} over x} – 4} right) + 3) có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
b. Rút gọn rồi tìm giá trị của x để biểu thức
({{{{left( {x + 2} right)}^2}} over x}.left( {1 – {{{x^2}} over {x + 2}}} right) – {{{x^2} + 6x + 4} over x}) có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất ấy.
Giải:
a. ({{{x^2}} over {x – 2}}.left( {{{{x^2} + 4} over x} – 4} right) + 3) (điều kiện (x ne 2) và (x ne 0) )
(eqalign{ & = {{{x^2}} over {x – 2}}.{{{x^2} + 4 – 4x} over x} + 3 = {{{x^2}} over {x – 2}}.{{{{left( {x – 2} right)}^2}} over x} + 3 cr & = xleft( {x – 2} right) + 3 = {x^2} – 2x + 1 + 2 = {left( {x – 1} right)^2} + 2 cr} )
Ta có: ({left( {x – 1} right)^2} ge 0 Rightarrow {left( {x – 1} right)^2} + 2 ge 2) với mọi giá trị của x
nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 2 khi (x = 1)
(x = 1) thỏa mãn điều kiện
Vậy biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất bằng 2 tại (x = 1)
b. ({{{{left( {x + 2} right)}^2}} over x}.left( {1 – {{{x^2}} over {x + 2}}} right) – {{{x^2} + 6x + 4} over x}) (điều kiện (x ne 0) và(x ne – 2))
(eqalign{ & = {{{{left( {x + 2} right)}^2}} over x}.{{x + 2 – {x^2}} over {x + 2}} – {{{x^2} + 6x + 4} over x} = {{left( {x + 2} right)left( {x + 2 – {x^2}} right)} over x} – {{{x^2} + 6x + 4} over x} cr & = {{{x^2} + 2x – {x^3} + 2x + 4 – 2{x^2} – {x^2} – 6x – 4} over x} = {{ – {x^3} – 2{x^2} – 2x} over x} cr & = {{ – xleft( {{x^2} + 2x + 2} right)} over x} = – left( {{x^2} + 2x + 2} right) = – left[ {left( {{x^2} + 2x + 1} right) + 1} right] cr & = – left[ {{{left( {x + 1} right)}^2} + 1} right] = – {left( {x + 1} right)^2} – 1 cr & {left( {x + 1} right)^2} ge 0 Rightarrow – {left( {x + 1} right)^2} le 0 Rightarrow – {left( {x + 1} right)^2} – 1 le – 1 cr} )
nên biểu thức có giá trị lớn nhất bằng – 1 khi x = – 1
x = – 1 thỏa mãn điều kiện.
Vậy biểu thức đã cho có giá trị lớn nhất bằng – 1 tại x = – 1
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập
