Giải bài tập trang 13 bài 5 phương trình chứa ẩn ở mẫu Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Câu 41: Giải các phương trình sau…
Câu 41 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2
Giải các phương trình sau:
a. ({{2x + 1} over {x – 1}} = {{5left( {x – 1} right)} over {x + 1}})
Bạn đang xem: Giải bài 41, 42, 5.1 trang 13 SBT Toán 8 tập 2
b. ({{x – 3} over {x – 2}} + {{x – 2} over {x – 4}} = – 1)
c. ({1 over {x – 1}} + {{2{x^2} – 5} over {{x^3} – 1}} = {4 over {{x^2} + x + 1}})
d. ({{13} over {left( {x – 3} right)left( {2x + 7} right)}} + {1 over {2x + 7}} = {6 over {{x^2} – 9}})
Giải:
a. ({{2x + 1} over {x – 1}} = {{5left( {x – 1} right)} over {x + 1}}$ ĐKXĐ:
(eqalign{ & Leftrightarrow {{left( {2x + 1} right)left( {x + 1} right)} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} = {{5left( {x – 1} right)left( {x – 1} right)} over {left( {x + 1} right)left( {x – 1} right)}} cr & Leftrightarrow left( {2x + 1} right)left( {x + 1} right) = 5left( {x – 1} right)left( {x – 1} right) cr & Leftrightarrow 2{x^2} + 2x + x + 1 = 5{x^2} – 10x + 5 cr & Leftrightarrow 2{x^2} – 5{x^2} + 2x + x + 10x + 1 – 5 = 0 cr & Leftrightarrow – 3{x^2} + 13x – 4 = 0 cr & Leftrightarrow 3{x^2} – x – 12x + 4 = 0 cr & Leftrightarrow xleft( {3x – 1} right) – 4left( {3x – 1} right) = 0 cr & Leftrightarrow left( {3x – 1} right)left( {x – 4} right) = 0 cr} )
( Leftrightarrow x – 4 = 0) hoặc (3x – 1 = 0)
+) (x – 4 = 0 Leftrightarrow x = 4) (thỏa mãn)
+) (3x – 1 = 0 Leftrightarrow x = {1 over 3}) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc (x = {1 over 3})
b. ({{x – 3} over {x – 2}} + {{x – 2} over {x – 4}} = – 1) ĐKXĐ: (x ne 2)và (x ne 4)
(eqalign{ & Leftrightarrow {{left( {x – 3} right)left( {x – 4} right)} over {left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)}} + {{left( {x – 2} right)left( {x – 2} right)} over {left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)}} = – {{left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)} over {left( {x – 2} right)left( {x – 4} right)}} cr & Leftrightarrow left( {x – 3} right)left( {x – 4} right) + left( {x – 2} right)left( {x – 2} right) = – left( {x – 2} right)left( {x – 4} right) cr & Leftrightarrow {x^2} – 4x – 3x + 12 + {x^2} – 2x – 2x + 4 = – {x^2} + 4x + 2x – 8 cr & Leftrightarrow 3{x^2} – 17x + 24 = 0 cr & Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 8x + 24 = 0 cr & Leftrightarrow 3xleft( {x – 3} right) – 8left( {x – 3} right) = 0 cr & Leftrightarrow left( {3x – 8} right)left( {x – 3} right) = 0 cr} )
( Leftrightarrow 3x – 8 = 0) hoặc (x – 3 = 0)
+ (3x – 8 = 0 Leftrightarrow x = {8 over 3}) (thỏa mãn)
+ (x – 3 = 0 Leftrightarrow x = 3) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm (x = {8 over 3}) hoặc x = 3
c. ({1 over {x – 1}} + {{2{x^2} – 5} over {{x^3} – 1}} = {4 over {{x^2} + x + 1}})
ĐKXĐ: (x ne 1)
(eqalign{ & Leftrightarrow {{{x^2} + x + 1} over {{x^3} – 1}} + {{2{x^2} – 5} over {{x^3} – 1}} = {{4left( {x – 1} right)} over {{x^3} – 1}} cr & Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4left( {x – 1} right) cr & Leftrightarrow {x^2} + x + 1 + 2{x^2} – 5 = 4x – 4 cr & Leftrightarrow {x^2} + 2{x^2} + x – 4x = – 4 + 5 – 1 cr & Leftrightarrow 3{x^2} – 3x = 0 cr & Leftrightarrow 3xleft( {x – 1} right) = 0 cr} )
( Leftrightarrow x = 0) (thỏa) hoặc (x – 1 = 0 Leftrightarrow x = 1) (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 0
d. ({{13} over {left( {x – 3} right)left( {2x + 7} right)}} + {1 over {2x + 7}} = {6 over {{x^2} – 9}}) ĐKXĐ: (x ne pm 3) và (x = – {7 over 2})
(eqalign{ & Leftrightarrow {{13left( {x + 3} right)} over {left( {{x^2} – 9} right)left( {2x + 7} right)}} + {{{x^2} – 9} over {left( {{x^2} – 9} right)left( {2x + 7} right)}} = {{6left( {2x + 7} right)} over {left( {{x^2} – 9} right)left( {2x + 7} right)}} cr & Leftrightarrow 13left( {x + 3} right) + {x^2} – 9 = 6left( {2x + 7} right) cr & Leftrightarrow 13x + 39 + {x^2} – 9 = 12x + 42 cr & Leftrightarrow {x^2} + x – 12 = 0 cr & Leftrightarrow {x^2} – 3x + 4x – 12 = 0 cr & Leftrightarrow xleft( {x – 3} right) + 4left( {x – 3} right) = 0 cr & Leftrightarrow left( {x + 4} right)left( {x – 3} right) = 0 cr} )
( Leftrightarrow x + 4 = 0) hoặc (x – 3 = 0)
+ (x + 4 = 0 Leftrightarrow x = – 4) (thỏa mãn)
+ (x – 3 = 0 Leftrightarrow x = 3) (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = -4
Câu 42 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2
Cho phương trình ẩn:
({{x + a} over {a – x}} + {{x – a} over {a + x}} = {{aleft( {3a + 1} right)} over {{a^2} – {x^2}}})
a. Giải phương trình với a = -3
b. Giải phương trình với a = 1
c. Giải phương trình với a = 0
d. Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận (x = {1 over 2}) làm nghiệm.
Giải:
a. Khi a = -3, ta có phương trình:
({{x – 3} over { – 3 – x}} + {{x + 3} over { – 3 + x}} = {{ – 3left[ {3left( { – 3} right) + 1} right]} over {{{left( { – 3} right)}^2} – {x^2}}}) ĐKXĐ: (x ne pm 3)
(eqalign{ & Leftrightarrow {{3 – x} over {x + 3}} + {{x + 3} over {x – 3}} = {{24} over {9 – {x^2}}} cr & Leftrightarrow {{3 – x} over {x + 3}} – {{x + 3} over {x – 3}} = – {{24} over {{x^2} – 9}} cr & Leftrightarrow {{left( {3 – x} right)left( {x – 3} right)} over {{x^2} – 9}} – {{left( {x + 3} right)left( {x + 3} right)} over {{x^2} – 9}} = – {{24} over {{x^2} – 9}} cr & Leftrightarrow left( {3 – x} right)left( {x – 3} right) – {left( {x + 3} right)^3} = – 24 cr & Leftrightarrow 3x – 9 – {x^2} + 3x + {x^2} + 6x + 9 = – 24 cr & Leftrightarrow 12x = – 24 cr} )
( Leftrightarrow x = – 2) (thỏa)
Vậy phương trình có nghiệm x = -2
b. Khi a = 1, ta có phương trình:
({{x + 1} over {1 – x}} + {{x – 1} over {1 + x}} = {{1left( {3.1 + 1} right)} over {{1^2} – {x^2}}}) ĐKXĐ: (x ne pm 1)
(eqalign{ & Leftrightarrow {{x + 1} over {1 – x}} + {{x – 1} over {1 + x}} = {4 over {1 – {x^2}}} cr & Leftrightarrow {{{{left( {x + 1} right)}^2}} over {1 – {x^2}}} + {{left( {x – 1} right)left( {1 – x} right)} over {1 – {x^2}}} = {4 over {1 – {x^2}}} cr & Leftrightarrow {left( {x + 1} right)^2} + left( {x – 1} right)left( {1 – x} right) = 4 cr & Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + x – {x^2} – 1 + x = 4 cr & Leftrightarrow 4x = 4 cr} )
( Leftrightarrow x = 1) (loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
c. Khi a = 0, ta có phương trình: ({x over { – x}} + {x over x} = {0 over {{x^2}}})
ĐKXĐ: (x ne 0)
(eqalign{ & Leftrightarrow {{ – {x^2}} over {{x^2}}} + {{{x^2}} over {{x^2}}} = {0 over {{x^2}}} cr & Leftrightarrow – {x^2} + {x^2} = 0 Leftrightarrow 0x = 0 cr} )
Phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị của (x ne 0)
Vậy phương trình có nghiệm (x in R/x ne 0)
d. Thay (x = {1 over 2}) vào phương trình, ta có:
({{{1 over 2} + a} over {a – {1 over 2}}} + {{{1 over 2} – a} over {a + {1 over 2}}} = {{aleft( {3a + 1} right)} over {{a^2} – {{left( {{1 over 2}} right)}^2}}}) ĐKXĐ: (x ne pm {1 over 2})
(eqalign{ & Leftrightarrow {{{1 over 2} + a} over {a – {1 over 2}}} + {{{1 over 2} – a} over {a + {1 over 2}}} = {{aleft( {3a + 1} right)} over {{a^2} – {1 over 4}}} cr & Leftrightarrow {{1 + 2a} over {2a – 1}} + {{1 – 2a} over {2a + 1}} = {{4aleft( {3a + 1} right)} over {4{a^2} – 1}} cr & Leftrightarrow {{left( {1 + 2a} right)left( {2a + 1} right)} over {4{a^2} – 1}} + {{left( {1 – 2a} right)left( {2a – 1} right)} over {4{a^2} – 1}} = {{4aleft( {3a + 1} right)} over {4{a^2} – 1}} cr & Leftrightarrow left( {1 + 2a} right)left( {2a + 1} right) + left( {1 – 2a} right)left( {2a – 1} right) = 4aleft( {3a + 1} right) cr & Leftrightarrow 2a + 1 + 4{a^2} + 2a + 2a – 1 – 4{a^2} + 2a = 12{a^2} + 4a cr & Leftrightarrow 12{a^2} – 4a = 0 cr & Leftrightarrow 4aleft( {3a – 1} right) = 0 cr} )
( Leftrightarrow 4a = 0) hoặc (3a – 1 = 0)
( Leftrightarrow a = 0) (thỏa) hoặc (a = {1 over 3}) (thỏa)
Vậy khi a = 0 hoặc (a = {1 over 3}) thì phương trình ({{x + a} over {a – x}} + {{x – a} over {a + x}} = {{aleft( {3a + 1} right)} over {{a^2} – {x^2}}}) nhận (x = {1 over 2}) làm nghiệm.
Câu 5.1* trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2
Giải các phương trình
a. ({2 over {x + {1 over {1 + {{x + 1} over {x – 2}}}}}} = {6 over {3x – 1}})
b. ({{{{x + 1} over {x – 1}} – {{x – 1} over {x + 1}}} over {1 + {{x + 1} over {x – 1}}}} = {{x – 1} over {2left( {x + 1} right)}})
c. ({5 over x} + {4 over {x + 1}} = {3 over {x + 2}} + {2 over {x + 3}})
Giải:
a. Ta có: (x + {1 over {1 + {{x + 1} over {x – 2}}}} = x + {{x – 2} over {2x – 1}} = {{2left( {{x^2} – 1} right)} over {2x – 1}})
ĐKXĐ của phương trình là (x ne 2,x ne {1 over 2},x ne pm 1,x ne {1 over 3}). Ta biến đổi phương trình đã cho thành
({{2x – 1} over {{x^2} – 1}} = {6 over {3x – 1}}). Khử mẫu và rút gọn:
(eqalign{ & left( {2x – 1} right)left( {3x – 1} right) = 6left( {{x^2} – 1} right) cr & Leftrightarrow – 5x + 1 = – 6 cr & Leftrightarrow x = {7 over 5} cr} )
Giá trị (x = {7 over 5}) thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có nghiệm là (x = {7 over 5})
b. Cách 1. ĐKXĐ: (x ne pm 1). Biến đổi vế trái thành ({{4x} over {{x^2} – 1}}.{{x – 1} over {2x}} = {2 over {x + 1}}), ta đưa phương trình đã cho về dạng ({2 over {x + 1}} = {{x – 1} over {2left( {x + 1} right)}}).
Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:
(eqalign{ & 4left( {x + 1} right) = left( {x – 1} right)left( {x + 1} right) cr & Leftrightarrow left( {x + 1} right)left( {x – 5} right) = 0 cr} )
( Leftrightarrow x = – 1) hoặc (x = 5)
Trong hai giá trị vừa tìm được, chỉ có x = 5 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất x = 5.
Cách 2. Đặt ({{x + 1} over {x – 1}} = y), ta có phương trình ({{y – {1 over y}} over {1 + y}} = {1 over {2y}}). ĐKXĐ của phương trình này là (y ne 0) và (y ne – 1). Giải phương trình này bằng cách khử mẫu:
(eqalign{ & 2{y^2} – 2 = 1 + y cr & Leftrightarrow 2left( {{y^2} – 1} right) – left( {y + 1} right) = 0 cr & Leftrightarrow left( {y + 1} right)left( {2y – 3} right) = 0 cr} )
( Leftrightarrow y = – 1) hoặc (y = {3 over 2})
Trong hai giá trị tìm được, chỉ có (y = {3 over 2}) là thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình ({{x + 1} over {x – 1}} = {3 over 2})
Giải phương trình này ta được x = 5
c. ĐKXĐ: (x in left{ {0; – 1; – 2; – 3} right}). Ta biến đổi phương trình như sau:
(eqalign{ & {5 over x} + {2 over {x + 3}} = {4 over {x + 1}} + {3 over {x + 2}} cr & Leftrightarrow left( {{5 over x} + 1} right) + left( {{2 over {x + 3}} + 1} right) = left( {{4 over {x + 1}} + 1} right) + left( {{3 over {x + 2}} + 1} right) cr & Leftrightarrow {{5 + x} over x} + {{5 + x} over {x + 3}} = {{5 + x} over {x + 1}} + {{5 + x} over {x + 2}} cr & Leftrightarrow left( {5 + x} right)left( {{1 over x} + {1 over {x + 3}} – {1 over {x + 1}} – {1 over {x + 2}}} right) = 0 cr & Leftrightarrow 5 + x = 0(1) cr} )
hoặc ({1 over x} + {1 over {x + 3}} – {1 over {x + 1}} – {1 over {x + 2}} = 0) (2)
Ta có:
(1) ( Leftrightarrow x = – 5)
(2) (eqalign{ & Leftrightarrow {1 over x} + {1 over {x + 3}} = {1 over {x + 1}} + {1 over {x + 2}} cr & Leftrightarrow {{2x + 3} over {xleft( {x + 3} right)}} = {{2x + 3} over {left( {x + 1} right)left( {x + 2} right)}} cr & Leftrightarrow left( {2x + 3} right)left( {{1 over {{x^2} + 3x}} – {1 over {{x^2} + 3x + 2}}} right) = 0 cr} )
( Leftrightarrow 2x + 3 = 0) hoặc ({1 over {{x^2} + 3x}} – {1 over {{x^2} + 3x + 2}} = 0)
+ (2x + 3 = 0 Leftrightarrow x = – {3 over 2})
+ ({1 over {{x^2} + 3x}} – {1 over {{x^2} + 3x + 2}} = 0). Dễ thấy phương trình này vô nghiệm.
Tóm lại, phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (left{ { – 5; – {3 over 2}} right})
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập
