Giải bài tập trang 11, 12, 13 bài 4 giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Câu 25: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số…
Câu 4.1 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình:
(a)left{ {matrix{{{3 over x} + {5 over y} = – {3 over 2}} cr {{5 over x} – {2 over y} = {8 over 3}} cr} } right.)
Bạn đang xem: Giải bài 4.1, 4.2, 4.3 trang 12, 13 SBT Toán 9 tập 2
(b)left{ {matrix{{{2 over {x + y – 1}} – {4 over {x – y + 1}} = – {{14} over 5}} cr {{3 over {x + y – 1}} + {2 over {x – y + 1}} = – {{13} over 5}} cr} } right.)
Giải
(a)left{ {matrix{{{3 over x} + {5 over y} = – {3 over 2}} cr {{5 over x} – {2 over y} = {8 over 3}} cr} } right.)
Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b.) Điều kiện: (x ne 0;y ne 0)
Ta có hệ phương trình:
(eqalign{& left{ {matrix{{3a + 5b = – {3 over 2}} cr {5a – 2b = {8 over 3}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{6a + 10b = – 3} cr {15a – 6b = 8} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{30a + 50b = – 15} cr {30a – 12b = 16} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{62b = – 31} cr {6a + 10b = – 3} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{b = – {1 over 2}} cr {6a + 10.left( { – {1 over 2}} right) = – 3} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{b = – {1 over 2}} cr {6a = 2} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{b = – {1 over 2}} cr {a = {1 over 3}} cr} } right. cr} )
Suy ra:
(left{ {matrix{{{1 over x} = {1 over 3}} cr {{1 over y} = – {1 over 2}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{x = 3} cr {y = – 2} cr} } right.)
Hai giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (3; -2)
(b)left{ {matrix{{{2 over {x + y – 1}} – {4 over {x – y + 1}} = – {{14} over 5}} cr {{3 over {x + y – 1}} + {2 over {x – y + 1}} = – {{13} over 5}} cr} } right.)
Đặt ({1 over {x + y – 1}} = a;{1 over {x – y + 1}} = b.) Điều kiện: (x + y – 1 ne 0;x – y + 1 ne 0)
Ta có hệ phương trình:
(eqalign{& left{ {matrix{{2a – 4b = – {{14} over 5}} cr {3a + 2b = – {{13} over 5}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{2a – 4b = – {{14} over 5}} cr {6a + 4b = – {{26} over 5}} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{8a = – 8} cr {3a + 2b = – {{13} over 5}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{a = – 1} cr { – 3 + 2b = – {{13} over 5}} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{a = – 1} cr {b = {1 over 5}} cr} } right. cr} )
Suy ra:
(eqalign{& left{ {matrix{{{1 over {x + y – 1}} = – 1} cr {{1 over {x – y + 1}} = {1 over 5}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{x + y – 1 = – 1} cr {x – y + 1 = 5} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{x + y = 0} cr {x – y = 4} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{2x = 4} cr {x – y = 4} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{x = 2} cr {2 – y = 4} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{x = 2} cr {y = – 2} cr} } right. cr} )
Hai giá trị x = 2; y = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (2; -2)
Câu 4.2 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-3; 1) và N(1; 2)
b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (Mleft( {sqrt 2 ;1} right)) và (Nleft( {3;3sqrt 2 – 1} right))
c) Đồ thị đi qua điểm M(-2; 9) và cắt đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.
Giải
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a ≠ 0)
a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-3; 1) và N(1; 2) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Điểm M: 1 = -3a + b
Điểm N: 2 = a + b
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
(eqalign{& left{ {matrix{{ – 3a + b = 1} cr {a + b = 2} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{4a = 1} cr {a + b = 2} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{a = {1 over 4}} cr {{1 over 4} + b = 2} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{a = {1 over 4}} cr {b = {7 over 4}} cr} } right. cr} )
Hàm số cần tìm: $y = {1 over 4}x + {7 over 4})
b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua (Mleft( {sqrt 2 ;1} right)) và (Nleft( {3;3sqrt 2 – 1} right)) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Điểm M: (1 = asqrt 2 + b)
Điểm N: (3sqrt 2 – 1 = 3a + b)
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
(eqalign{& left{ {matrix{{asqrt 2 + b = 1} cr {3a + b = 3sqrt 2 – 1} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{left( {3 – sqrt 2 } right)a = 3sqrt 2 – 2} cr {asqrt 2 + b = 1} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{left( {3 – sqrt 2 } right)a = sqrt 2 left( {3 – sqrt 2 } right)} cr {asqrt 2 + b = 1} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{a = sqrt 2 } cr {{{left( {sqrt 2 } right)}^2} + b = 1} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{a = sqrt 2 } cr {2 + b = 1} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{a = sqrt 2 } cr {b = – 1} cr} } right. cr} )
Hàm số cần tìm: (y = sqrt 2 x – 1)
c) Điểm N nằm trên đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 có hoành độ bằng 2 nên tung độ của N bằng: (3.2 – 5y = 1 Leftrightarrow – 5y = – 5 Leftrightarrow y = 1)
Điểm N( 2; 1)
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-2; 9) và N(2; 1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Điểm M: 9 = -2a + b
Điểm N: 1 =2a + b
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
(eqalign{& left{ {matrix{{ – 2a + b = 9} cr {2a + b = 1} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{2b = 10} cr {2a + b = 1} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{b = 5} cr {2a + 5 = 1} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{b = 5} cr {2a = – 4} cr} } right. cr & Leftrightarrow left{ {matrix{{b = 5} cr {a = – 2} cr} } right. cr} )
Hàm số cần tìm là y = – 2x + 5
Câu 4.3 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải hệ phương trình:
(left{ {matrix{{{{xy} over {x + y}} = {2 over 3}} cr {{{yz} over {y + z}} = {6 over 5}} cr {{{zx} over {z + x}} = {3 over 4}} cr} } right.)
Giải
Điều kiện: (x ne – y;y ne – z;z ne – x)
Từ hệ phương trình đã cho suy ra: $x ne 0;y ne 0;z ne 0)
(left{ {matrix{{{{xy} over {x + y}} = {2 over 3}} cr {{{yz} over {y + z}} = {6 over 5}} cr {{{zx} over {z + x}} = {3 over 4}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{{{x + y} over {xy}} = {3 over 2}} cr {{{y + z} over {yz}} = {5 over 6}} cr {{{z + x} over {zx}} = {4 over 3}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{{1 over x} + {1 over y} = {3 over 2}} cr {{1 over y} + {1 over z} = {5 over 6}} cr {{1 over z} + {1 over x} = {4 over 3}} cr} } right.)
Đặt ({1 over x} = a;{1 over y} = b;{1 over z} = c)
Ta có hệ phương trình:
(left{ {matrix{{a + b = {3 over 2}} cr {b + c = {5 over 6}} cr {c + a = {4 over 3}} cr} } right.)
Cộng từng vế ba phương trình ta có:
(eqalign{& a + b + b + c + c + a = {3 over 2} + {5 over 6} + {4 over 3} cr & Leftrightarrow 2left( {a + b + c} right) = {9 over 6} + {5 over 6} + {8 over 6} cr & Leftrightarrow a + b + c = {{11} over 6} cr & a = left( {a + b + c} right) – left( {b + c} right) = {{11} over 6} – {5 over 6} = 1 cr & b = left( {a + b + c} right) – left( {c + a} right) = {{11} over 6} – {4 over 3} = {{11} over 6} – {8 over 6} = {1 over 2} cr & c = left( {a + b + c} right) – left( {a + b} right) = {{11} over 6} – {3 over 2} = {{11} over 6} – {9 over 6} = {1 over 3} cr} )
Suy ra:
(left{ {matrix{{{1 over x} = 1} cr {{1 over y} = {1 over 2}} cr {{1 over z} = {1 over 3}} cr} } right. Leftrightarrow left{ {matrix{{x = 1} cr {y = 2} cr {z = 3} cr} } right.)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3).
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập
