Các dạng bài tập áp dụng 7 hằng đẳng thức và ví dụ. Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài tập là một trong những nội dung kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình lớp 8 mà chúng còn được sử dụng thường xuyên ở các lớp học sau này.
Hiểu được điều đó, bài viết này sẽ hệ thống lại các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ cùng các ví dụ cụ thể để các em có thể nắm vững kiến thức về các hằng đẳng thức, rèn luyện được kỹ năng biến đổi 7 hằng đẳng thức 1 cách linh hoạt trong các dạng toán.
I. Kiến thức cần nhớ về 7 hằng đẳng thức
1. Bình phương của một tổng
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2
b) 9×2 + y2 + 6xy = 9×2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2
2. Bình phương của một hiệu
(A – B)2 = A2 – 2AB + B2
* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu
c) 25a2 + 4b2 – 20ab = 25a2 – 20ab + 4b2 = (5a)2 – 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2
d)
3. Hiệu hai bình phương
A2 – B2 = (A – B)(A + B)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4×2 – 9
* Lời giải:
– Ta có: 4×2 – 9 = (2x)2 – (3)2 = (2x-3)(2x+3)
4. Lập phương của một tổng
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
* Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
a) (2×2+3y)3 =(2×2)3 + 3(2×2)2.(3y) + 3(2×2).(3y)2 + (3y)3 = 8×6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
5. Lập phương của một hiệu
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
* Ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính
b)
6. Tổng hai lập phương
A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích x3 + 64
x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)
7. Hiệu hai lập phương
A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)
* Ví dụ: Viết dưới dạng tích 8×3 – y3
8×3 – y3 = (2x)3 – y3 = (2x-y)[(2x)2 – (2x).y + y2] = (2x-y)(4×2 + 2xy + y2)
* Chú ý: a+b= -(-a-b) ;
(a+b)2= (-a-b)2 ;
(a-b)2= (b-a)2 ;
(a+b)3= -(-a-b)3 ;
(a-b)3=-(-a+b)3
II. Các dạng toán áp dụng 7 hằng đẳng thức
• Dạng 1 : Tính giá trị của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1
* Lời giải.
– Ta có : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2
– Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9
⇒ Kết luận: Vậy tại x = -1 thì A = 9
• Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A không phụ thuộc vào biến
Ví dụ: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)
* Lời giải.
– Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số không phụ thuộc vào biến x.
• Dạng 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5
* Lời giải:
– Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4
– Vì (x – 1)2 ≥ 0 với mọi x.
⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 hay A ≥ 4
– Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4, Dấu “=” xảy ra khi : x – 1 = 0 hay x = 1
⇒ Kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1
• Dạng 4 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2
* Lời giải:
– Ta có : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2
– Vì (x – 2)2 ≥ 0 với mọi x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x
⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4 [cộng 2 vế với 4]
⇔ A ≤ 4 Dấu “=” xảy ra khi : x – 2 = 0 hay x = 2
⇒ Kết luận GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.
• Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bằng nhau
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
* Lời giải:
– Đối với dạng toán này chúng ta biến đổi VT = VP hoặc VT = A và VP = A
– Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3
= 6a2b + 2b3
= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).
⇒ Kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)
• Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức
– Biến đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phép biến đổi đưa A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.
Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức A nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến, biết: A = x2 – x + 1
* Lời giải:
– Ta có:
– Vì nên
Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức B nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x, biết: B = (2-x)(x-4)-2
* Lời giải:
– Ta có: B = (2-x)(x-4) – 1 = 2x – 8 – x2 + 4x – 2 = -x2 + 6x – 9 – 1 = -(x2 – 6x + 9) – 1 = -(x-3)2 – 1
– Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 – 1 ≤ -1 < 0 với mọi x,
• Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tập 8: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x
a) (2x+3)(4×2-6x+9)-2(4×3-1)
b) (4x-1)3 – (4x-3)(16×2+3)
Hy vọng với bài viết hệ thống lại kiến thức về các dạng bài tập vận dụng 7 hằng đằng thức cùng ví dụ và bài tập ở trên giúp ích cho các em. Mọi thắc mắc và góp ý các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để thầy cô THPT Ngô Thì Nhậm ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giáo Dục
