Giải bài tập trang 80 bài 1 tứ giác Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Câu 7: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng…
Câu 7 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tạo các đỉnh B và D
Giải:
Bạn đang xem: Giải bài 7, 8, 9, 10 trang 80 SBT Toán 8 tập 1
Gọi (widehat {{A_1},}widehat {{C_1}}) là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C. ({widehat A_2},{widehat C_2}) là góc ngoài tại đỉnh A và C.
Ta có: ({widehat A_1} + {widehat A_2} = {180^0}) (2 góc kề bù)
(Rightarrow {widehat A_2} = {180^0} – {widehat A_1})
({widehat C_1} + {widehat C_2} = {180^0}) (2 góc kề bù)
( Rightarrow {widehat C_2} = {180^0} – {widehat C_1})
Suy ra:
(eqalign{& {widehat A_2} + {widehat C_2} = {180^0} – {widehat A_1} + {180^0} – {widehat C_1} cr & = {360^0} – left( {{{widehat A}_1} + {{widehat C}_1}} right) cr}) (1)
Trong tứ giác ABCD ta có:
({widehat A_1} + widehat B + {widehat C_1} + widehat D = {360^0}) (tổng các góc của tứ giác)
(Rightarrow widehat B + widehat D = {360^0} – left( {{{widehat A}_1} + {{widehat C}_1}} right)) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ({widehat A_2} + {widehat C_2} = widehat B + widehat D)
Câu 8 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Tứ giác ABCD có (widehat A = {110^0},widehat B = {100^0}). Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính (widehat {CED},widehat {CFD})
Giải:
– Trong tứ giác ABCD, ta có:
(eqalign{& widehat A + widehat B + widehat C + widehat D = {360^0} cr & Rightarrow widehat C + widehat D = {360^0} – left( {widehat A + widehat B} right) cr & = {360^0} – left( {{{110}^0} + {{100}^0}} right) = {150^0} cr & {widehat D_1} + {widehat C_1} = {{widehat C + widehat D} over 2} = {{{{150}^0}} over 2} = {75^0} cr} )
– Trong ∆CED, ta có:
(widehat {CED} = {180^0} – left( {{{widehat C}_1} + {{widehat D}_1}} right) = {180^0} – {75^0} = {105^0})
DE ⊥ DF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)
(Rightarrow widehat {EDF} = {90^0})
CE ⊥ CF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)
( Rightarrow widehat {ECF} = {90^0})
Trong tứ giác CEDF, ta có:
(eqalign{& widehat {DEC} + widehat {EDF} + widehat {DFC} + widehat {ECF} = {360^0} cr & Rightarrow widehat {DFC} = {360^0} – left( {widehat {DEC} + widehat {EDF} + widehat {ECF}} right) cr & widehat {DFC} = {360^0} – left( {{{105}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} right) = {75^0} cr} )
Câu 9 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.
Giải:
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
Trong ∆OAB, ta có:
OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1)
Trong ∆OCD, ta có:
OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác) (2)
Cộng từng vế (1) và (2):
OA + OB + OC + OD > AB + CD
⇒ AC + BD > AB + CD
Câu 10 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
Giải:
Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD
Trong ∆OAB, ta có:
OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác) (1)
Trong ∆OCD ta có:
Từ (1) và (2) suy ra:
OA + OB + OC + OD > a + c
Hay AC + BD > a + c (*)
-Trong ∆OAD ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)
-Trong ∆OBC ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: OA + OD + OB + OC > b + d
⇒ AC + BD > b + d (**)
Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d
(⇒ AC + BD > {{a + b + c + d} over 2})
-Trong ∆ABC ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác)
-Trong ∆ADC ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2AC < a + b + c + d
(AC < {{a + b + c + d} over 2}) (5)
-Trong ∆ABD ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)
-Trong ∆BCD ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)
Suy ra: 2BD < a + b + c + d
(BD < {{a + b + c + d} over 2}) (6)
Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập
