Giải bài tập trang 99, 100 bài ôn tập chương I – tứ giác Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Câu 157: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là…
Câu 157 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:
a. Hình chữ nhật
Bạn đang xem: Giải bài 157, 158, 159, 160 trang 99, 100 SBT Toán 8 tập 1
b. Hình thoi
c. Hình vuông
Giải:
Trong ∆ ABC ta có EF là đường trung bình nên EF // AC và EF = ({1 over 2})AC (1)
Trong ∆ ADC ta có HG là đường trung bình nên HG // AC và HG = ({1 over 2})AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành
a. Tứ giác EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD
b. Tứ giác EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AC = BD
c. Tứ giác EFGH là hình vuông ⇔ AC ⊥ BD và AC = BD
Câu 158 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC.
a. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ?
b. Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì ? Vì sao ?
c. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A
d. Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông ?
Giải:
a. Điểm M và điểm D đối xứng qua trục AB
⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD
⇒ AB ⊥ DM
⇒ (widehat {AED} = {90^0})
Điểm D và điểm N đối xứng nhau qua trục AC ⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DN
⇒ AC ⊥ DN ( Rightarrow widehat {AFD} = {90^0})
(widehat {EAF} = {90^0}) (gt)
Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)
b. Tứ giác AEDF là hình chữ nhật ⇒ DE // AC; DF // AB
Trong ∆ ABC ta có: DB = DC (gt)
DE // AC
Suy ra: AE = EB (tính chất đường trung bình tam giác); DF// AB
Suy ra: AF = FC (tính chất đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác ADBM : AE = EB (chứng minh trên)
ED = EM (vì AB là trung trực DM)
Suy ra: Tứ giác ADBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
AB ⊥ DM
Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc)
Xét tứ giác ADCN:
AF = FC (chứng minh trên)
DF = FN (vì AC là đường trung trực DN)
Suy ra: Tứ giác ADCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
AC ⊥ DN
Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc)
c. Tứ giác ADBM là hình thoi ⇒ AM // DB và AM = AD
hay AM // BC và AM = AD (1)
Tứ giác ADCN là hình thoi ⇒ AN // DC và AD = AN
hay AN // BC và AN = AD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AM trung với AN hay M, A, N thẳng hàng
Và AM = AN nên A là trung điểm của MN
Vậy điểm M và điểm N đối xứng với nhau qua điểm A
d. Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF
Ta có: AE = ({1 over 2})AB ; AF =({1 over 2})AC
nên AE = AF AB = AC
Vậy nếu ∆ ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông.
Câu 159 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC.
a. Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A
b. Tam giác DHE là tam giác gì ? Vì sao ?
c. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ?
d. Chứng minh rằng BC = BD + CE.
Giải:
a. Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB
⇒ AB là đường trung trực của HD
⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực) ⇒ ∆ ADH cân tại A
Suy ra: AB là tia phân giác của (widehat {DAH} Rightarrow widehat {DAB} = {widehat A_1})
Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC
⇒ AC là đường trung trực của HE
⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực) ⇒ ∆ AHE cân tại A
Suy ra: AC là đường phân giác của (widehat {HAE} Rightarrow {widehat A_2} = widehat {EAC})
(widehat {DAE} = widehat {DAH} + widehat {HAE} = 2left( {{{widehat A}_1} + {{widehat A}_2}} right) = {2.90^0} = {180^0})
D, A, E thẳng hàng
AD = AE (vì cùng bằng AH)
nên điểm A là trung điểm của đoạn DE
Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.
b) Tam giác DHE có HA là trung tuyến và (AH = {1 over 2}DE)nên tam giác DHE vuông tại H.
c) Xét (Delta ADB) và ( Delta AHB) có:
+) AB chung
+) BD = BH ( vì AB là trung trực của DH)
+) AD = AH (vì AB là trung trực của DH)
(Rightarrow Delta ADB = Delta AHB;(c.c.c))
( Rightarrow widehat {AHB} = widehat {ADB}=90^0) (hai góc tương ứng)
Xét (Delta AEC) và ( Delta AHC) có:
+) AC chung
+) EC = HC ( vì AC là trung trực của EH)
+) AE = AH (vì AC là trung trực của EH)
(Rightarrow Delta AEC = Delta AHC;(c.c.c))
( Rightarrow widehat {AHC} = widehat {AEC}=90^0) (hai góc tương ứng)
Suy ra BD//CE (vì cùng vuông góc với DE)Do đó tứ giác BDEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE nên BDEC là hình thang vuông.
d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (5)Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (6)Cộng vế với vế của (5) và (6) ta có BD+CE=BH+CH hay BD+CE=BC
Câu 160 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, DC, DB. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là:
a. Hình chữ nhật
b. Hình thoi
c. Hình vuông
Giải:
Xét tam giác ABC:
Ta có: EB = EA, FA = FC (gt)
Nên EF // BC, EF = ({1 over 2}) BC.
Xét tam giác BDC có
HB = HD, GD = GC (gt)
Nên HG // BC, HG = ({1 over 2}) BC.
Do đó EF //HG, EF = HG.
Tương tự EH // FG, EH = FG
Vậy EFGH là hình bình hành.
a) EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AD ⊥ BC
b) EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AD = BC
c) EFGH là hình thoi ⇔ AD ⊥ BC và AD = BC
Trường THPT Ngô Thì Nhậm
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giải bài tập
