Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x là một dạng toán yêu cầu các em vận dụng thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức rồi sau đó nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
Bài viết dưới đây chúng ta cùng tìm hiểu cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x, qua đó giải một số bài tập vận dụng để rèn luyện kỹ năng giải toán.
Hiểu đơn giản: Bài toán chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, nghĩa là sau khi rút gọn biểu thức này thì biểu thức không chứa biến x.
I. Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc biến
Để chứng minh giá trị một biểu thức không phụ thuộc vào biến ta cần:
– Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức (nếu có)
– Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau rồi rút gọn.
II. Bài tập vận dụng chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến
* Bài tập 1: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a) A = x(2x+1) – x2(x + 2) + (x3 – x+ 10)
b) B = x(3×2 – x + 5) – (2×3 + 3x – 16) – x(x2 – x + 2)
* Lời giải:
a) A = x(2x+1) – x2(x + 2) + (x3 – x + 10)
= 2×2 + x – x3 – 2×2 + x3 – x + 10
= (x3 – x3) + (2×2 – 2×2 + (x – x) + 10
= 0 + 0 + 0 +10
= 10
Vậy giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào biến x.
b) B = x(3×2 – x + 5) – (2×3 + 3x – 25) – x(x2 – x + 2)
= 3×3 – x2 + 5x – 2×3 – 3x + 25 – x3 + x2 – 2x
= (3×3 – 2×3 – x3) + (x2 – x2) + (5x – 3x – 2x) + 25
= 0 + 0 + 0 + 25
= 25
Vậy giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào biến x.
* Bài tập 2: Chứng tỏ rằng các đa thức sau không phụ thuộc vào biến x
a) C = (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
b) D = x2(x – 2) – x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
* Lời giải:
a) C = (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
= (x2 – x).(x + 1) – (x2 + x).(x – 1)
= x2(x + 1) – x.(x + 1) – x2(x – 1) – x(x – 1)
= x3 + x2 – x2 – x – x3 + x2 – x2 + x
= (x3 – x3) + (x2 – x2 + x2 – x2) + (x – x)
= 0 + 0 + 0 = 0
Vậy giá trị của biểu thức C = 0 không phụ thuộc vào biến x
b) D = x2(x – 2) – x(x2 + x + 1) + x(3x + 1)
= x2.x – x2.2 – x.x2 – x.x – x.1 + x.3x + x.1
= x3 – 2×2 – x3 – x2 – x + 3×2 + x
= (x3 – x3) + (3×2 – 2×2 – x2) + (x – x)
= 0 + 0 + 0 = 0
Vậy giá trị của biểu thức D = 0 không phụ thuộc vào biến x
* Bài tập 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x và y
A = (x – 2y)(x + 2y) + (2y – x)(2y + x) + 2022
* Lời giải:
Ta có: A = (x – 2y)(x + 2y) + (2y – x)(2y + x) + 2022
= x(x + 2y) – 2y(x + 2y) + 2y(2y + x) – x(2y + x) + 2022
= x2 + 2xy – 2xy – 4y2 + 4y2 + 2xy – 2xy – x2 + 2022
= (x2 – x2) + (4y2 – 4y2) + (2xy – 2xy + 2xy – 2xy) + 2022
= 0 + 0 + 0 + 2022
= 2022
Vậy giá trị của biểu thức A = 2022 và không phụ thuộc vào biến x và y.
* Bài tập 4: Chứng minh giá tri của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x, y.
B = (2x – y2)(2x + y2) + (y2 + 3)(y2 – 3) – 4×2
* Lời giải:
Ta có: B = (2x – y2)(2x + y2) + (y2 + 3).(y2 – 3) – 4×2
= 2x(2x + y2) – y2(2x + y2) + y2(y2 – 3) + 3(y2 – 3) – 4×2
= 4×2 + 2xy2 – 2xy2 – y4 + y4 – 3y2 + 3y2 – 9 – 4×2
=(4×2 – 4×2) + (2xy2 – 2xy2) + (y4 – y4) + (3y2 – 3y2) – 9
= 0 + 0 + 0 + 0 – 9
= -9
Vậy giá trị của biểu thức B = -9 và không phụ thuộc vào biến x và y.
* Bài tập 5: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.
A = (2x – 4).(1 – x2) + x(2×2 – 2 – 4x)
* Lời giải:
Ta có: A = (2x – 4).(1 – x2) + x(2×2 – 2 – 4x)
= 2x(1 – x2) – 4(1 – x2) + 2×3 – 2x – 4×2
= 2x – 2×3 – 4 + 4×2 + 2×3 – 2x – 4×2
= (2×3 – 2×3) + (4×2 – 4×2) + (2x – 2x) – 4
= 0 + 0 + 0 – 4
= -4
Vậy giá trị của biểu thức A = -4 không phụ thuộc giá trị biến x.
* Bài tập 6: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x.
a) A = 4×4 – (2×2 – 5)(2×2 + 5) + 10
b) B = x(x2 + x + 1) – x2(x + 1) – (x – 5)
* Bài tập 7: Chứng minh giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc giá trị của biến x và y.
a) A = 2×3 – 2y3 + (y – x)(2×2 + 2y2) + 2xy(y – x) + 5
b) B = x2(xy – y – x) – x2y(x – 1) + (x -1)(x2 + x + 1) + 9
Hy vọng với bài viết Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến x ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để THPT Ngô Thì Nhậm ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.
Đăng bởi: THPT Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Giáo Dục
